A 附录 A

幅度和相位不平衡推导

用于表示 ADC 中差动接口的两个输入信号的数学模型如下：

方程式 8.

x_{1} (t) = (k_{1}) \sin (ω t) x_{2} (t) = (k_{2}) \sin (ω t - 180^{°} + ρ) = - k_{2} \sin (ω t + ρ)

ADC 的数学模型及对称的三阶传递函数：

方程式 9.

h (x (t)) = a_{0} + a_{1} x (t) + a_{2} x^{2} (t) + a_{3} x^{3} (t)

将这两者综合在一起，可以表示如下：

方程式 10.

y (t) = h (x_{1} (t)) - h (x_{2} (t)) y (t) = a_{1} [x_{1} (t) - x_{2} (t)] + a_{2} [{x_{1}}^{2} (t) - {x_{2}}^{2} (t)] + a_{3} [{x_{1}}^{3} (t) - {x_{2}}^{3} (t)]

在两个输入信号没有不平衡的情况下，ADC 的传递函数建模如下，其中幅度为 k₁ = k₂ = k，相位差恰好为 180° (φ = 0°)：

方程式 11.

x_{1} (t) = (k) \sin (ω t) x_{2} (t) = (- k) \sin (ω t) y (t) = (2 a_{1} k) \sin (ω t) + (2 a_{3} k^{3}) \sin^{3} (ω t)

通过简化该模型，可以看出，偶次谐波会抵消，而奇次谐波不会抵消，或者：

方程式 12.

y (t) = 2 (a_{1} k + \frac{3 a_{3} k^{3}}{4}) \sin (ω t) - (\frac{a_{3} k^{3}}{2}) \sin (3 ω t)

查看幅度不平衡的情况，其中 k₁≇ k₂、φ = 0 且相位平衡。这两个输入信号如下所示：

方程式 13.

x_{1} (t) = (k_{1}) \sin (ω t) x_{2} (t) = (- k_{2}) \sin (ω t)

进行一些替换后，可以发现：

方程式 14.

y (t) = \frac{a_{2}}{2} \times ({k_{1}}^{2} - {{k^{2}}_{2} =}_{2}) + (a_{1} (k_{1} + k_{2}) + (\frac{3 a_{3}}{4}) \times ({k_{1}}^{3} - {k_{2}}^{3})) \sin (ω t) - (\frac{a_{2}}{2}) \times ({k_{1}}^{2} - {k_{2}}^{2}) \cos (2 ω t) - (\frac{a_{3}}{4}) \times ({k_{1}}^{3} - {k_{2}}^{3}) \sin (3 ω t)

如公式所示，二次谐波与幅度项平方之差成正比，或者：

二次谐波是 α k₁² - k₂²

查看相位不平衡的情况，其中 k₁ = k₂、φ ≇ 0 且幅度平衡。这两个输入信号如下所示：

方程式 15.

x_{1} (t) = (k_{1}) \sin (ω t) x_{2} (t) = (- k_{1}) \sin (ω t + ρ)

进行一些替换后，可以发现：

方程式 16.

y (t) = (a_{1} k_{1} + \frac{3 a_{3} {k_{1}}^{3}}{4}) \times (\sin (ω t) + \sin (ω t) \times \cos (ρ) + \cos (ω t) \times \sin (ρ)) - (\frac{a_{2} {k_{1}}^{2}}{2}) \times (\cos (2 ω t) - \cos (2 ω t) \times \cos (2 ρ) + \sin (2 ω t) \times \sin (2 ρ)) - (\frac{a_{3} {k_{1}}^{3}}{4}) \times (\sin (3 ω t) + \sin (3 ω t) \times \cos (3 ρ) + \cos (3 ω t) \times \sin (3 ρ))

如公式所示，二次谐波与幅度项的平方成正比，或者：

二次谐波为 α k₁²

总之，二次谐波受相位不平衡的影响大于受幅度不平衡的影响。因此，相位不平衡和二次谐波与 k₁的平方成正比。而对于幅度不平衡，二次谐波与 k₁ 和 k₂ 的平方差成正比。由于 k₁ 和 k₂ 通常大致相等，因此 k₁² 和 k₂² 的差值很小。因此，二次谐波受到幅度不平衡的影响通常不会很大。