4 数学知识回顾

使用变量 $\mathrm{s\; 的}$ 二阶多项式可以用两种等效形式给出。

系数形式：

或因式分解形式：

总结，

其中 $z_1$ 和 $z_2$ 是 s 平面中多项式为零的位置。

此处讨论的三个滤波器是全极点滤波器，这意味着它们的传递函数包含所有极点而没有零点。表征滤波器响应的多项式用作滤波器传递函数的分母。因此，多项式的零点是滤波器的极点。

所有偶数阶巴特沃斯、贝塞耳或切比雪夫多项式都包含复共轭零对。这意味着Equation20 和Equation6 均成立，其中 $\mathrm{Re}$ 是实部，而 $\mathrm{Im}$ 是虚部。

在典型的数学表示法中， $z_1$ 表示具有正虚部的共轭零，而 $z_1^{*}$ 表示具有负虚部的共轭零。奇数阶滤波器除了复共轭对之外，还有一个实极点。

一些滤波器书籍提供了描述滤波器多项式零点的表，其他一些书籍则提供了系数，还有一些书籍两者均提供。由于多项式的零点是滤波器的极点，因此一些书籍使用极点一词。零点和极点与多项式的因式分解形式一起使用，而系数与系数形式一起使用。无论信息如何给出，两种形式之间的转换都是常规的。

以因式分解形式表示滤波器的传递函数时，可便于快速查看极点的位置。相反，系数形式的二阶多项式更便于将传递函数与电路元件关联。稍后在探讨滤波器电路拓扑时会看到这一点。因此，工程师通常希望使用因式分解形式，但需要先对多项式进行缩放和标准化。

二阶公式的系数形式表明，当 $s\ll a_0$ 时，公式由 $a_0$ 占主导；当 $s\gg a_0$ 时，s 占主导。 $a_0$ 是公式在主导项之间转换的转折点。要标准化并缩放到其他值，请将每一项除以 $a_0$ 并将 $s$ 项除以 $\omega c$ 。结果如Equation7 所示：

这会对多项式进行缩放和标准化，以便转折点位于 $s=\omega c\sqrt{a_0}$ 。

通过代入 $s=j2\mathrm{\pi }f$ ， $\omega c=2\mathrm{\pi }fc$ ， $a_1=\frac{1}{Q}$ 以及 $\sqrt{a_0}=FSF$ ，公式变为：

这是Equation17 的分母，即低通滤波器的标准形式。在本文的其余部分中，将使用代入项 $s=j2\mathrm{\pi }f$ 。