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ZHCUBZ4 April 2024 – December 2024

图 3-8 展示了集成在 SMO 中的传统 PLL。

图 3-8 包含用于 PMSM 的 PLL 的 eSMO 方框图

构建了传统的降阶滑模观测器，其数学模型如方程式 13 所示，方框图如图 3-9 所示。

方程式 13.

[\begin{matrix} {\dot{\hat{i}}}_{α} \\ {\dot{\hat{i}}}_{β} \end{matrix}] = \frac{1}{L_{d}} [\begin{matrix} {- R}_{s} & - {\hat{ω}}_{e} (L_{d} - L_{q}) \\ {\hat{ω}}_{e} (L_{d} - L_{q}) & {- R}_{s} \end{matrix}] [\begin{matrix} {\hat{i}}_{α} \\ {\hat{i}}_{β} \end{matrix}] + \frac{1}{L_{d}} [\begin{matrix} V_{α} - {\hat{e}}_{α} + z_{α} \\ V_{β} - {\hat{e}}_{β} + z_{β} \end{matrix}]

其中 z_α 和 z_β 是滑模反馈分量，其定义为：

方程式 14.

[\begin{matrix} z_{α} \\ z_{β} \end{matrix}] = [\begin{matrix} k_{α} sign ({\hat{i}}_{α} - i_{α}) \\ k_{β} sign ({\hat{i}}_{β} - i_{β}) \end{matrix}]

其中 k_α 和 k_β 是通过李雅普诺夫稳定性分析设计的恒定滑模增益。如果 k_α 和 k_β 是足够大的正值，以保证 SMO 的稳定运行，则 k_α 和 k_β 通常足够大，以保持方程式 15 和方程式 16。

方程式 15.

k_{α} > m a x (|e_{α}|)

方程式 16.

k_{β} > m a x (|e_{β}|)

图 3-9 传统滑模观测器的方框图

α-β 轴上的 EEMF 估算值（方程式 18、方程式 19）可通过低通滤波器从不连续开关信号 z_α 和 z_β 中获得：

方程式 17.

[\begin{matrix} {\hat{e}}_{α} \\ {\hat{e}}_{β} \end{matrix}] = \frac{ω_{c}}{s + ω_{c}} [\begin{matrix} z_{α} \\ z_{β} \end{matrix}]

方程式 18.

ê_{α}

方程式 19.

ê_{β}

其中方程式 20 是 LPF 的截止角频率，通常根据定子电流的基频来选择该截止角频率。

方程式 20.

ω_{c} = 2 {πf}_{c}

因此，转子位置可以直接通过反电动势的反正切计算得出，其定义如下

方程式 21.

{\hat{θ}}_{e} = - \tan^{- 1} (\frac{{\hat{e}}_{α}}{{\hat{e}}_{β}})

低通滤波器消除了滑模函数的高频项，从而导致出现相位延迟。可以通过截止频率 ω_c 和反电动势频率 ω_e 之间的关系对其进行补偿，定义为：

方程式 22.

∆ θ_{e} = - \tan^{- 1} (\frac{ω_{e}}{ω_{c}})

这样使用 SMO 方法估算的转子位置就为：

方程式 23.

{\hat{θ}}_{e} = - \tan^{- 1} (\frac{{\hat{e}}_{α}}{{\hat{e}}_{β}}) + ∆ θ_{e}

在数字控制应用中，需要使用 SMO 的时间离散方程。欧拉法是变换为时间离散观测器的合适方法。在 α-β 坐标中，方程式 13 的时间离散系统矩阵由方程式 24 给出：

方程式 24.

[\begin{matrix} {\hat{\dot{i}}}_{α} (n + 1) \\ {\hat{\dot{i}}}_{β} (n + 1) \end{matrix}] = [\begin{matrix} F_{α} \\ F_{β} \end{matrix}] [\begin{matrix} {\hat{\dot{i}}}_{α} (n) \\ {\hat{\dot{i}}}_{β} (n) \end{matrix}] + [\begin{matrix} G_{α} \\ G_{β} \end{matrix}] [\begin{matrix} V_{α}^{*} (n) - {\hat{e}}_{α} (n) + z_{α} (n) \\ V_{β}^{*} (n) - {\hat{e}}_{β} (n) + z_{β} (n) \end{matrix}]

其中矩阵 [F] 和 [G] 由方程式 25 和方程式 26 给出：

方程式 25.

[\begin{matrix} F_{α} \\ F_{β} \end{matrix}] = [\begin{matrix} e^{- \frac{R_{s}}{L_{d}}} \\ e^{- \frac{R_{s}}{L_{q}}} \end{matrix}]

方程式 26.

[\begin{matrix} G_{α} \\ G_{β} \end{matrix}] = \frac{1}{R_{s}} [\begin{matrix} {1 - e}^{- \frac{R_{s}}{L_{d}}} \\ 1 - e^{- \frac{R_{s}}{L_{q}}} \end{matrix}]

方程式 17 的时间离散形式由方程式 27 给出：

方程式 27.

[\begin{matrix} {\hat{e}}_{α} (n + 1) \\ {\hat{e}}_{β} (n + 1) \end{matrix}] = [\begin{matrix} {\hat{e}}_{α} (n) \\ {\hat{e}}_{β} (n) \end{matrix}] + 2 {πf}_{c} [\begin{matrix} z_{α} (n) - {\hat{e}}_{α} (n) \\ z_{β} (n) - {\hat{e}}_{β} (n) \end{matrix}]