ZHCAF49 March 2025 LMX2820

B 附录：无功匹配网络的计算

引入以下术语：

方程式 29.

X_{L} = 2 π \times f \times j \times L

方程式 30.

X_{C} = - j \times \frac{1}{2 π \times f \times C}

方程式 31.

z = X_{L} + \frac{R_{S o u r c e}}{N}

看向负载的阻抗需要与从负载向外看的阻抗相同。

方程式 32.

R_{L o a d} = z | | X_{C} = \frac{z \times X_{C}}{z {+ X}_{C}}

此公式可按以下方式重新排列：

方程式 33.

z = \frac{X_{C} \times R_{L o a d}}{X_{C} {- R}_{L o a d}}

从电感器向外看的阻抗需要等于看向电感器的阻抗

方程式 34.

2 \times \frac{R_{S o u r c e}}{N} = z + R_{L o a d} | | X_{C} = z + \frac{R_{L o a d} \times X_{C}}{R_{L o a d} {+ X}_{C}}

组合这些方程即可得到

方程式 35.

2 \times \frac{R_{S o u r c e}}{N} = \frac{R_{L o a d} \times X_{C}}{X_{C} - R_{L o a d}} + \frac{R_{L} \times X_{C}}{X_{C} {+ R}_{L o a d}} = \frac{2 \times R_{L o a d} \times {X_{C}}^{2}}{{X_{C}}^{2} - {R_{L o a d}}^{2}}

定义以下术语：

方程式 36.

Q = \sqrt{\frac{{N \times R}_{L o a d}}{R_{S}} - 1}

要非常仔细，确保得到正确的根和正确的分支。例如，注意到这些公式可以组合为

方程式 37. i.e.

\sqrt{\frac{1}{- 1}} = - j \neq j

考虑到这一点，这些方程可以组合为

方程式 38.

X_{C} = - j \times \frac{R_{L o a d}}{\sqrt{\frac{{N \times R}_{L o a d}}{R_{S}} - 1}} = - j \times \frac{R_{L o a d}}{Q}

将此值代回 x 和 y 的值，得到：

方程式 39.

\frac{(- j \times \frac{R_{L o a d}}{Q}) \times R_{L o a d}}{(- j \times \frac{R_{L o a d}}{Q}) {- R}_{L o a d}} = X_{L o a d} + \frac{R_{S o u r c e}}{N}

这可以简化为：

方程式 40.

X_{L} = \frac{(- j \times \frac{R_{L o a d}}{Q}) \times R_{L o a d}}{(- j \times \frac{R_{L o a d}}{Q}) {- R}_{L o a d}} - \frac{R_{S o u r c e}}{N} = \frac{j \times Q \times R_{L o a d} + R_{L o a d}}{Q^{2} + 1} - \frac{R_{S o u r c e}}{N} = \frac{j \times Q \times R_{L o a d} + R_{L o a d}}{\frac{{N \times R}_{L o a d}}{R_{S o u r c e}}} - \frac{R_{S o u r c e}}{N} = j \times \frac{Q \times R_{S o u r c e}}{N}

最后，可得出电感和电容值：

方程式 41.

L = \frac{j \times \frac{Q \times R_{S o u r c e}}{N}}{2 π \times f \times j} = \frac{R_{S o u r c e} \times Q}{2 π \times f \times N}

方程式 42.

C = \frac{- j}{2 π \times f \times X_{C}} = \frac{Q}{R_{L o a d} \times 2 π \times f}