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ZHDA309 September 2026 TPS61383-Q1

4.2 超级电容器放电能量建模

计算截止电压后，仍然很难正确计算超级电容器放电能量。超级电容器内部电阻通常比 IC MOSFET Rds-on 大 5-10 倍。因此，总放电效率远低于升压电压，基于 E=CV²/2 的计算并不准确。本节介绍了正确计算超级电容器能量的基本方法。

在整个 scap 放电期间，内部电阻上的损耗可由方程式 15 给出

方程式 15.

l o s s_{R S C A P} = \int_{0}^{T} I_{s c a p}^{2} R_{S C A P} d t

其中：

对于 I_SCAP，请使用方程式 16：

方程式 16.

I_{s c a p} = - \frac{V_{o u t} I_{o u t}}{V_{I N} η_{B S T}} = \frac{V_{o u t} I_{o u t}}{(V_{S C A P} - I_{S C A P} R_{S C A P}) η_{B S T}}

获取 I_SCAP 如下所示：

方程式 17.

I_{S C A P} = \frac{V_{S C A P} - \sqrt{- \frac{4 V_{o u t} I_{o u t} R_{S C A P} - {V_{S C A P}}^{2} η_{B S T}}{η_{B S T}}}}{2 R_{S C A P}}

在前面的公式中，V_out、I_out、R_SCAP 和 η_BST 是常量参数，而 V_SCAP 是关于 t 的待求解未知函数。根据等效电路，构建以下微分方程：

方程式 18.

C_{S C A P} \frac{d V_{S C A P}}{d t} = - I_{S C A P} = - \frac{V_{S C A P} - \sqrt{- \frac{4 V_{o u t} I_{o u t} R_{S C A P} - {V_{S C A P}}^{2} η_{B S T}}{η_{B S T}}}}{2 R_{S C A P}}

该微分方程可分离变量，因此用户可获得隐式的一般解。

方程式 19.

\frac{V_{S C A P}^{2}}{2 b} + \frac{V_{S C A P} \sqrt{V_{S C A P}^{2} - b}}{2 b} - \frac{1}{2} l n (V_{S C A P} + \sqrt{V_{S C A P}^{2} - b}) = - \frac{t}{2 R_{S C A P} C_{S C A P}} + C_{1}

其中

方程式 20.

b = \frac{4 V_{o u t} I_{o u t} R_{S C A P}}{η_{B S T}}

现在我们已得到 Vscap，Iscap 可通过数值方法求解。但由于通过数值方法计算损耗不够清晰。请勿使用隐式形式计算 I_SCAP 和损耗。回到方程式 15，将方程式 17 和方程式 18 代入方程式 15：

方程式 21.

\begin{array}{rcl} l o s s_{R S C A P} & = & \int_{0}^{T} I_{S C A P}^{2} R_{S C A P} d t \\ = & \int_{0}^{T} (- C_{S C A P} \frac{d V_{S C A P}}{d t}) \frac{V_{S C A P} - \sqrt{- \frac{4 V_{o u t} I_{o u t} R_{S C A P} - V_{S C A P}^{2} η_{B S T}}{η_{B S T}}}}{2 R_{S C A P}} R_{S C A P} d t \\ = & - \frac{C_{S C A P}}{2} \int_{0}^{T} V_{S C A P}^{'} (V_{S C A P} - \sqrt{V_{S C A P}^{2} - \frac{4 V_{o u t} I_{o u t} R_{S C A P}}{η_{B S T}}}) d t \\ = & - \frac{C_{S C A P}}{2} \int_{0}^{T} V_{S C A P}^{'} V_{S C A P} - V_{S C A P}^{'} \sqrt{V_{S C A P}^{2} - b} d t \end{array}

积分是标准积分乘以微分。此类积分可通过换元法轻松求解。令 u=V_SCAP：

方程式 22.

\begin{array}{rcl} l o s s_{R S C A P} & = & - \frac{C_{S C A P}}{2} \int_{0}^{T} u - \sqrt{u^{2} - b} d u \\ = & \frac{C_{S C A P}}{4} (- V_{S C A P}^{2} + V_{S C A P} \sqrt{V_{S C A P}^{2} - b} - b \cdot \ln (V_{S C A P} + \sqrt{V_{S C A P}^{2} - b})) |_{0}^{T} \end{array}

t = 0 和 t = T 时的 V_SCAP 电压为 VCH 和 VCL。因此，定积分可按下式计算：

方程式 23.

l o s s_{R S C A P} = \frac{C_{S C A P}}{4} [V_{C H}^{2} - V_{C L}^{2} + V_{C L} \sqrt{V_{C L}^{2} - b} - V_{C H} \sqrt{V_{C H}^{2} - b} + b (\ln (V_{C H} + \sqrt{V_{C H}^{2} - b}) - \ln (V_{C L} + \sqrt{V_{C L}^{2} - b}))]

VCH、VCL 和 b 是已知参数，而剩下的唯一未知参数为 Cscap。因此，损耗可由下式给出：

方程式 24.

l o s s_{R S C A P} = k C_{S C A P}

其中 k 为：

方程式 25.

k = [V_{C H}^{2} - V_{C L}^{2} + V_{C L} \sqrt{V_{C L}^{2} - b} - V_{C H} \sqrt{V_{C H}^{2} - b} + b (\ln (V_{C H} + \sqrt{V_{C H}^{2} - b}) - \ln (V_{C L} + \sqrt{V_{C L}^{2} - b}))] / 4

因此，最小 C_SCAP 可按下式计算：

方程式 26.

\begin{array}{rcl} C_{m i n} & = & \frac{2 V_{o u t} I_{o u t} T}{η_{B S T} (V_{C H}^{2} - V_{C L}^{2}) (1 - \frac{l o s s_{R i n}}{V_{o u t} I_{o u t} T + l o s s_{R i n}})} \\ = & \frac{2 V_{o u t} I_{o u t} T}{η_{B S T} (V_{C H}^{2} - V_{C L}^{2}) (1 - \frac{k C_{m i n}}{V_{o u t} I_{o u t} T + k C_{m i n}})} \end{array}

因此，最终的最小 Cscap 可求解为：

方程式 27.

C_{m i n} = \frac{2 V_{o u t} I_{o u t} T}{η_{B S T} (V_{C H}^{2} - V_{C L}^{2}) - 2 k}

其中：

方程式 28.

k = [V_{C H}^{2} - V_{C L}^{2} + V_{C L} \sqrt{V_{C L}^{2} - b} - V_{C H} \sqrt{V_{C H}^{2} - b} + b (\ln (V_{C H} + \sqrt{V_{C H}^{2} - b}) - \ln (V_{C L} + \sqrt{V_{C L}^{2} - b}))] / 4

方程式 29.

b = \frac{4 V_{o u t} I_{o u t} R_{i n}}{η}