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3.3 非线性 PID

非线性比例积分微分（非线性 PID）控制器利用幂函数来实现控制律。NLPID 是对线性 PID 进行调整后的结果，其中对每条路径应用了基于幂函数的非线性律。

图 3-4 非线性 PID 输入架构。

调整参数

每个非线性块根据幂函数律（归一化输入（伺服误差）的可调节调整参数 $α$ 次方）对伺服误差进行整形。调整参数决定增益形状的幅度和方向。

图 3-5 非线性控制律输入/输出图。

表 3-1 调整参数对增益形状的影响。

参数	值	影响
$α_{p}$	< 1	在大误差下增益较小，对小误差不敏感。
$α_{p}$	> 1	在大误差下增益较大，在小误差下增益较大，因此对小变动较敏感。
$α_{i}$	-1 < $α_{i}$ < 0	在误差较大时通过减少积分作用来解决积分饱和问题。
$α_{d}$	$α_{d}$ > 1	在误差较小时使微分增益较小，因此降低了对噪声的敏感度。

为了防止出现不良结果，解决方案是定义一个覆盖原点的输入范围，在该范围内增益保持恒定。选择该区域中的增益以确保线性和非线性曲线精确地在其边界处相交，从而实现从一个区域到另一个区域的平滑、无干扰过渡。

公式

非线性控制律

Equation45.

y (x, α, δ) = (\begin{matrix} {(x)}^{α} s i g n (x), W h e n | x | \geq δ \\ δ^{α - 1} x, W h e n | x | < δ \end{matrix})

比例误差表达式

Equation46.

e_{p} = e

积分误差表达式

Equation47.

e_{i} = e d t

微分误差表达式

Equation48.

e_{d} = \frac{d}{d t} e

重构的非线性控制律

Equation49.

u = K_{p} y (e_{p}, α_{p}, δ_{p}) + K_{i} y (e_{i}, α_{i}, δ_{i}) + K_{d} y (e_{d}, α_{d}, δ_{d})

其中

x = 输入

y = 输出

$α$ = 调整参数

$δ$ = 对数递减

K = 控制器增益

图 3-6 显示了小于 1 的调整参数的线性区域和非线性区域。请注意，线性增益与输入 x 无关，因此无需在每次控制器运行时计算线性增益。每条路径的线性增益都是固定的，只有在调整该路径中的任一非线性参数时才需要重新计算相应的线性增益。

图 3-6 非线性 PID 线性化区域。