ZHCAC57A February 2023 – February 2023 LMP7704-SP

A 置信区间计算

对于在单次曝光中出现数百次故障的传统产品，可以确定在重离子光束中测试的器件的平均故障率，该故障率是高确定性和合理严格的标准偏差的函数，因此，我们对计算出的截面是否准确有很高的把握。

但是，使用耐辐射器件时，很难确定截面，因为在整个暴露过程中通常很少或没有观察到故障。使用具有标准偏差的平均故障率来确定截面不再可行，并且假设在结果为零时发生单个错误的常见做法会最终导致截面被大大低估。

在观察到少量故障或观察不到故障的情况下，建议使用置信区间和卡方分布。卡方分布特别适合在故障以恒定速率发生时用于确定可靠性级别。在 SEE 测试中，如果在辐照区域内离子事件的时间和位置随机，则预计故障率与时间无关（假设总电离剂量引起的参数偏移不会影响故障率），因此，使用卡方统计技术是有效的（由于事件非常少，通常使用指数分布或泊松分布）。

在典型的 SEE 实验中，将待测器件 (DUT) 暴露在已知的固定通量（离子/cm²）中，同时监控 DUT 上是否发生故障。这类似于固定时间可靠性测试，更具体地说，是定时截尾测试，即在固定时间后，无论是否发生故障，可靠性测试都会终止（在 SEE 测试中，用通量代替时间，因此是固定通量测试）。计算置信区间专门提供了一系列值，其中可能包含所需参数（实际故障数/通量）。置信区间是在特定的置信水平上构建的。例如，95% 的置信水平意味着，如果对给定数量的器件进行多次采样并且估算每次测试的置信区间，那么生成的置信区间将在大约 95% 的情况下包含真实的总体参数。

要使用置信区间从零结果（给定通量下未观察到任何故障）估算截面，我们先使用Equation 2确定固定时间测试的下限（最小）平均失效前时间的标准可靠性（假定为指数分布）：

Equation2.

M T T F = \frac{2 n T}{χ_{2 (d + 1); 100 (1 - \frac{α}{2})}^{2}}

其中

MTTF 是最小（下限）平均失效前时间
n 是待测器件数（假设每个器件在相同条件下进行测试）
T 是测试时间
χ² 是在 100(1 – α / 2) 置信水平下评估的卡方分布
d 是自由度（观察到的故障数）

本文稍作修改，我们对不等式进行倒数计算并用 F（通量）代替 T，如Equation 3 所示：

Equation3.

M F T F = \frac{2 n F}{χ_{2 (d + 1); 100 (1 - \frac{α}{2})}^{2}}

其中

MFTF 是平均失效前通量
F 是测试通量
Χ² 是在 100(1 – α / 2) 置信水平下评估的卡方分布
d 是自由度（观察到的故障数）

MTTF 和事件发生率之间的反比关系可用于 MFTF。因此，上限截面等于 MFTF 的倒数，如Equation 4 所示：

Equation4.

σ = \frac{χ_{2 (d + 1); 100 (1 - \frac{α}{2})}^{2}}{2 n F}

假设所有测试均在总通量为 10⁶ 离子/cm² 时终止。此外，假设在相同条件下测试多个性能差异较大的器件。假设置信水平为 95% (σ = 0.05)。请注意，随着 d 从 0 个事件增加至 100 个事件，实际置信区间会变小，这表示总体参数（在本例中为截面）的真实值范围接近平均值 + 1 标准偏差。这样就解释了为何随着观察到的事件越多，统计信息可以得到优化，从而降低实际器件性能的不确定性。

表 A-1 MFTF 以及 σ 的实验示例计算（使用 95% 置信水平）⁽¹⁾

自由度 (d)	2(d + 1)	χ² @ 95%	计算的截面 (cm²)
自由度 (d)	2(d + 1)	χ² @ 95%	上限 @ 95% 置信水平	平均值	平均值 + 标准偏差
0	2	7.38	3.69E–06	0.00E+00	0.00E+00
1	4	11.14	5.57E–06	1.00E–06	2.00E–06
2	6	14.45	7.22E–06	2.00E–06	3.41E–06
3	8	17.53	8.77E–06	3.00E–06	4.73E–06
4	10	20.48	1.02E–05	4.00E–06	6.00E–06
5	12	23.34	1.17E–05	5.00E–06	7.24E–06
10	22	36.78	1.84E–05	1.00E–05	1.32E–05
50	102	131.84	6.59E–05	5.00E–05	5.71E–05
100	202	243.25	1.22E–04	1.00E–04	1.10E–04

(1) 针对多个不同的观察结果（在固定通量测试期间，d = 0、1、2...100 个观察到的事件）使用 95% 的置信水平，并假设每个测试的通量为 10⁶ 离子/cm²。请注意，随着观察到的事件数量的增加，置信区间接近均值。