3 具有第二级滤波器和混合检测的 PCM 转换器的传递函数推导

图 3-1 展示了具有第二级滤波器和混合检测的 PCM 降压转换器。

图 3-1 具有第二级滤波器和混合检测的 PCM 降压转换器简化原理图

图 3-2 是具有第二级滤波器和混合检测的 PCM 降压转换器的总体控制方框图。变量表示法请参考应用手册^[5]。

图 3-2 具有第二级滤波器和混合检测的 PCM 降压转换器的控制实现

在所有这些变量中，以下各项的含义与没有第二级滤波器的普通 PCM 降压转换器相同：

以下传递函数相对于没有第二级滤波器的普通降压转换器而言是新增的或其含义发生了改变：

对于那些与没有第二级滤波器的普通 PCM 降压转换器具有相同含义的传递函数，本应用手册没有介绍这些传递函数表达式的推导方法。这些表达式如方程式 1 至方程式 4 所列。

方程式 1.

G_{di} (s)= \frac{{\hat{i}}_{L} (s)}{\hat{d} (s)} ≈ \frac{V_{IN}}{sL}

方程式 2.

G_{EA} (s)= \frac{{\hat{v}}_{COMP} (s)}{- {\hat{v}}_{FB} (s)} ≈ \frac{G_{m}}{C_{COMP}} \frac{1+s R_{COMP} C_{COMP}}{s (1+s R_{COMP} C_{O_EA})}

方程式 3.

F_{m} = \frac{f_{SW}}{S_{n} + S_{e}}

方程式 4.

H_{e} (s)= \frac{\frac{s}{f_{SW}}}{e^{\frac{s}{f_{SW}}} -1} ≈1- \frac{s}{2 f_{SW}} + \frac{s^{2}}{{(π f_{SW})}^{2}}

其中，S_n 为检测电流波形的即时斜坡，S_e 为外部斜坡坡度。

方程式 5.

S_{n} = R_{i} \frac{V_{IN} - V_{O}}{L}

方程式 6.

S_{e} = V_{Se} × f_{SW}

添加第二级滤波器后，降压转换器的输出阻抗结构从图 3-3 更改为图 3-4。

图 3-3 采用一级滤波器时的输出阻抗结构

图 3-4 采用两级滤波器时的输出阻抗结构

由于低纹波设计中使用的输出电容器通常是低 ESR MLCC，因此为了简化环路模型的推导，此处忽略了电容器 ESR 效应。从图 3-4 可以得到，两级滤波器的输出阻抗 Z_O 表达式如下：

方程式 7.

Z_{O} (s)= \frac{C_{2} L_{2} R_{L} s^{2} + L_{2} s+ R_{L}}{C_{2} C_{O} L_{2} R_{L} s^{3} + C_{O} L_{2} s^{2} + (C_{2} + C_{O}) R_{L} s+1}

G₂ 反映了第二级滤波器 L₂ 和 C₂ 的低通滤波器效应。表达式为：

方程式 8.

G_{2} (s)= \frac{R_{L}}{C_{2} L_{2} R_{L} s^{2} + L_{2} s+ R_{L}}

反馈信号 V_FB 包括通过前馈路径耦合的 V_O1 信息，以及通过反馈分压器耦合的 V_O2 信息。根据叠加原理，我们可以得到：

方程式 9.

G_{FF} (s)= \frac{{\hat{v}}_{FB} (s)}{{\hat{v}}_{O1} (s)} |_{{\hat{v}}_{O2} (s)=0} = \frac{C_{ff} R_{1} R_{2} s}{C_{ff} R_{1} R_{2} s+ R_{1} + R_{2}}

方程式 10.

G_{FB} (s)= \frac{{\hat{v}}_{FB} (s)}{{\hat{v}}_{O2} (s)} |_{{\hat{v}}_{O1} (s)=0} = \frac{R_{2}}{C_{ff} R_{1} R_{2} s+ R_{1} + R_{2}}

根据图 3-2 所示的关系，可以推导出：

方程式 11.

G_{FB-TOTAL} (s)= \frac{{\hat{v}}_{FB} (s)}{{\hat{v}}_{O1} (s)} = G_{FF} (s)+ G_{FB} (s) G_{2} (s)