3 内部补偿 PCM 降压转换器的输出电容上限值

为确保系统环路的稳定性，交叉频率附近斜率为 –20dB/dec 是理想的环路增益条件，因为这通常能够产生足够的相位裕度⁽³⁾。

如 图 2-2 所示，在初始极点频率 f_{P1_EA} 处，PCM 转换器的环路增益斜率从 0 变为 –20dB/dec。在极点 f_{P_OUT} 处，环路增益斜率变为 –40dB/dec。由零点 f_{Z_EA} 补偿之后，增益斜率变为 –20dB/dec，增益曲线以该斜率与 0dB 相交，从而使转换器具有足够相位裕度。

如 图 3-1(a) 所示，转换器交叉频率 f_c 随着极点频率 f_{P_OUT} 的降低而降低。如果 f_c < f_{Z_EA}，则零点 f_{Z_EA} 超出交叉频率范围，环路增益以斜率 –40dB/dec 与 0dB 相交。如果出现这些情况，可能会导致相位裕度不足。

如 Equation4 所示，极点 f_{P_OUT} 与输出电容 C_O 成反比。减小 C_O，可使 f_{P_OUT} 和 f_c 都增大。如 图 3-1(b) 所示，增大极点频率 f_{P_OUT} 之后，f_{Z_EA} 可能会小于交叉频率 f_c，且环路增益以斜率 –20dB/dec 与 0dB 相交。这些条件通常可确保转换器具有足够相位裕度。

根据以上分析，使用 Equation6 计算增益交叉频率处斜率为 –20dB/dec 时的限值：

如 Equation2 所示，对于 TPS62933，f_{Z_EA} 为固定值 10.6kHz。为获得输出电容 C_o 与 f_c 之间的关系，首先根据 Equation7 和 Equation8 计算增益与频率之间的关系。

其中

• A_{P_OUT} 是频率 f_{P_OUT} 处的环路增益

Equation7 和 Equation8 可简化为：

根据 Equation4、Equation6 和 Equation10，使用 Equation11 计算输出电容上限值。

代入 Equation1 和 Equation2 中的参数，TPS62933 的上限值为：

通常情况下，对于降压转换器，增益交叉频率处斜率为 –20dB/dec 时，可实现 45° 相位裕度。但是，对于峰值电流模式控制降压稳压器，如果所用电感增大，内部电流环路极点的频率 f_{P_ci} 就会降低，并增大增益交叉频率处的相位降幅。即使以斜率 –20dB/dec 相交，这些条件也可能导致相位裕度低于 45°。因此，本节还推导了 45° 相位裕度的电容上限值。

图 3-2 是 PCM 降压转换器的波特图，相交斜率为 –20dB/dec。f_{Z_OUT} 和 f_{P2_EA} 处通常为极高频率，因此可首先忽略其在增益交叉频率处对相位裕度的影响。极点 f_{P1_EA} 为超低频率，在增益交叉频率处产生约 –90° 相位降幅。

接下来，根据 Equation13 计算相位裕度。Equation14 构成使相位裕度大于 45° 的限制条件。

根据 图 3-2，使用 Equation15、Equation16 和 Equation17 计算增益交叉频率 f_cross。

根据 Equation18 导出 f_cross：

将 Equation1、Equation2 和 Equation4 代入 Equation18，f_cross 表示为：

将 Equation2、Equation4、Equation5 和 Equation19 代入 Equation14，并忽略 ESR 影响，使用如下示例公式计算相位裕度限制条件的输出电容上限值：

(50*(111936*IOUT - 4460544))/(441013* IOUT *VOUT*(422400/ IOUT + (8954880000/ IOUT + 178421760000/ IOUT ^2 + (2500* VIN ^2* fsw ^2)/(24649*(4356000*L + VIN - 2* VOUT)^2) - (3180000* VIN *fsw)/(157*(4356000*L + VIN - 2* VOUT)) + (84480000* VIN * fsw)/(157* IOUT *(4356000*L + VIN - 2* VOUT)) - (267632640000* VIN * fsw)/(8321* IOUT ^2*(4356000*L + VIN - 2* VOUT)) + (10560000* VIN ^2* fsw ^2)/(1306397* IOUT *(4356000*L + VIN - 2* VOUT)^2) + (11151360000* VIN ^2* fsw ^2)/(69239041* IOUT ^2*(4356000*L + VIN - 2* VOUT)^2) + 112360000)^(1/2) - (50* VIN * fsw)/(157*(4356000*L + VIN - 2* VOUT)) - (105600* VIN * fsw)/(8321* IOUT *(4356000*L + VIN - 2* VOUT)) + 10600))

由于具有相位裕度限制条件的输出电容上限值表达式非常复杂，有关如何使用 Microsoft® Excel® 或 MATLAB® 进行计算的示例，请参阅 AppendixA。