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ZHDA012 January 2026 OPA206

4.5 相位裕度由增益峰值表示

在标准二阶系统的频率响应中，仅当 ζ<1/√2 时才存在谐振。谐振频率下的谐振峰值 M_r 由下式给出：

方程式 49.

\begin{matrix} M_{r} = \frac{1}{2 ζ \sqrt[]{1 - ζ^{2}}} \end{matrix}

图 4-4 增益峰值

通过方程式 49 求解 ζ 可得到方程式 50。

方程式 50.

\begin{matrix} ζ^{4} - ζ^{2} + \frac{1}{4 M_{r}^{2}} = 0 \end{matrix}

让 ζ² 为 y。那么，方程式 50 可以写为：

方程式 51.

\begin{matrix} y^{2} - y + \frac{1}{{4 M}_{r}^{2}} = 0 \end{matrix}

求解 y 可得出：

方程式 52.

\begin{matrix} y = ζ^{2} = \frac{1 \pm \sqrt[]{1 - \frac{1}{M_{r}^{2}}}}{2} \end{matrix}

由于假设 ζ<1/√2 的范围，因此取较小的值。

方程式 53.

\begin{matrix} ζ^{2} = \frac{1 - \sqrt[]{1 - \frac{1}{M_{r}^{2}}}}{2} \end{matrix}

方程式 54.

\begin{matrix} ζ = \sqrt[]{\frac{1 - \sqrt[]{1 - \frac{1}{M_{r}^{2}}}}{2}} \end{matrix}

方程式 55.

\begin{matrix} ϕ_{P M (D e g r e e s)} = \frac{180}{π} \tan^{- 1} \sqrt[]{\frac{2}{\sqrt[]{1 + \frac{1}{{(1 - \sqrt[]{1 - \frac{1}{M_{r}^{2}}})}^{2}}} - 1}} \end{matrix}

从方程式 55 中，可以绘制图 4-5。

图 4-5 相位裕度与增益峰值间的关系

表 4-2 列出了每个相位裕度处的预期交流增益峰值的一些示例。

表 4-2 相位裕度与增益峰值间的关系