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ZHDA012 January 2026 OPA206

4.1 相位裕度

相位裕度 Φ_PM 计算为系统在交叉频率 ω_C 和 180 度下的相移之间的差值。在二阶系统中，相位滞后由第一个极点 Ω_p1 和第二个极点 Ω_p2 引起，如图 4-1 所示。

图 4-1 二阶系统的相位裕度

通常，第一个极点位置远低于交叉频率，从而导致 90 度 (=π/2) 滞后。

第二个极点的公式为：

方程式 20.

\begin{matrix} \frac{1}{1 + \frac{ω}{ω_{p 2}} j} = \frac{1}{1 + {(\frac{ω}{ω_{p 2}})}^{2}} - \frac{\frac{ω}{ω_{p 2}}}{1 + {(\frac{ω}{ω_{p 2}})}^{2}} j \end{matrix}

图 4-2 第二个极点的相位滞后

如图 4-2 所示，第二个极点的相移可以按如下公式计算。

方程式 21.

\begin{matrix} \tan θ = - \frac{\frac{\frac{ω}{ω_{p 2}}}{1 + {(\frac{ω}{ω_{p 2}})}^{2}}}{\frac{1}{1 + {(\frac{ω}{ω_{p 2}})}^{2}}} \end{matrix}

方程式 22.

\begin{matrix} = - \frac{ω}{ω_{p 2}} \end{matrix}

方程式 23.

\begin{matrix} θ = \tan^{- 1} (- \frac{ω}{ω_{p 2}}) \end{matrix}

方程式 24.

\begin{matrix} = {- \tan}^{- 1} (\frac{ω}{ω_{p 2}}) \end{matrix}

在交叉频率 Ω_C 下，环路增益幅度等于 1 时，第二个极点的相移从变为低于方程式 24。

方程式 25.

\begin{matrix} {- \tan}^{- 1} (\frac{ω_{c}}{ω_{p 2}}) \end{matrix}

第一个极点及第二个极点在交叉频率处引起的总相移可以计算为

方程式 26.

\begin{matrix} - \frac{π}{2} - \tan^{- 1} (\frac{ω_{c}}{ω_{p 2}}) \end{matrix}

计算 π 和方程式 26 之间的差值，可得出相位裕度。

方程式 27.

\begin{matrix} ϕ_{P M} = π - \frac{π}{2} - \tan^{- 1} (\frac{ω_{c}}{ω_{p 2}}) \end{matrix}

方程式 28.

\begin{matrix} = \frac{π}{2} - \tan^{- 1} (\frac{ω_{c}}{ω_{p 2}}) \end{matrix}