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ZHDA012 January 2026 OPA206

4.3 将 Φ_PM 表示成阻尼比

现在，A_OLβ 由相位裕度和 h 表示，即 ω_p2/ω_p1 的比率。将方程式 36 代入方程式 19 表示的阻尼比 ζ。

方程式 37.

\begin{matrix} ζ = \frac{\sqrt[]{h} + \frac{1}{\sqrt[]{h}}}{2 \sqrt[]{1 + \sqrt[]{(1 + h^{2} \cot^{2} ϕ_{P M}) (1 + \cot^{2} ϕ_{P M})}}} \end{matrix}

方程式 38.

\begin{matrix} = \frac{1 + \frac{1}{h}}{2 \sqrt[]{\frac{1}{h} + \sqrt[]{(\frac{1}{h^{2}} + \cot^{2} ϕ_{P M}) (1 + \cot^{2} ϕ_{P M})}}} \end{matrix}

一般而言，大多数运算放大器的第二个极点远高于第一个极点，从而得到 h >> 1，以及从方程式 39 到方程式 38 的近似值。

方程式 39.

\begin{matrix} ζ ≒ \frac{1}{2 \sqrt[]{\cot ϕ_{P M} \sqrt[]{1 + \cot^{2} ϕ_{P M}}}} \end{matrix}

方程式 39 展示了只要 h>>>1，阻尼比就完全取决于相位裕度，这意味着过冲由相位裕度决定。

用上述公式求解 Φ_PM。

方程式 40.

\begin{matrix} \cot ϕ_{P M} \sqrt[]{1 + \cot^{2} ϕ_{P M}} = \frac{1}{4 ζ^{2}} \end{matrix}

方程式 41.

\begin{matrix} \cot^{2} ϕ_{P M} + \cot^{4} ϕ_{P M} = \frac{1}{16 ζ^{4}} \end{matrix}

假设 cot²Φ_PM 为 x。那么，方程式 41 可以写为：

方程式 42.

\begin{matrix} x^{2} + x - \frac{1}{16 ζ^{4}} = 0 \end{matrix}

方程式 43.

\begin{matrix} x = \cot^{2} ϕ_{P M} = \frac{- 1 + \sqrt[]{1 + \frac{1}{4 ζ^{4}}}}{2} \end{matrix}

方程式 44.

\begin{matrix} c o t ϕ_{P M} = \frac{1}{t a n ϕ_{P M}} = \sqrt[]{\frac{\sqrt[]{1 + \frac{1}{4 ζ^{4}}} - 1}{2}} \end{matrix}

方程式 45.

\begin{matrix} ϕ_{P M (R a d i a n s)} = \tan^{- 1} \sqrt[]{\frac{2}{\sqrt[]{1 + \frac{1}{4 ζ^{4}}} - 1}} \end{matrix}

要从弧度获得度值，请乘以 180/π。

方程式 46.

\begin{matrix} ϕ_{P M (D e g r e e s)} = \frac{180}{π} \tan^{- 1} \sqrt[]{\frac{2}{\sqrt[]{1 + \frac{1}{4 ζ^{4}}} - 1}} \end{matrix}