一般认为,电迁移故障遵循对数正态统计可靠性分布,加速因子遵循布莱克定律。这些参数使得瞬时故障率随着时间的推移而增加,反映了浴缸曲线的最新阶段。最好先以基本形式描述布莱克定律,然后再讨论对数正态 CDF。EM 对数正态故障的基本 CDF 方程见方程式 4。
方程式 4.
- J 是通过导线或过孔的电流密度(实际的平均电流密度)。
- n 是电流密度指数,取决于所使用的金属化工艺。通常,对于铜 (Cu),n = 1;对于铝,n = 2。Sitara 产品中使用了铜和铝金属,但金属化的限制性成分通常是铜。
- A 是一个拟合常数,在计算不同应力或使用条件下的故障时间比率时要除以它,这就是加速因子 (AF) 的定义。
- k 是玻尔兹曼常数,8.617x10-5 eV/°K。T 在本例中是以开尔文为单位的温度。
方程式 5.
在方程式 5 中,
- ф 是标准正态 CDF。
- t50-ref 是设计参考条件下的中位故障时间。
- σ 是故障时间自然对数的标准偏差,取决于技术节点,但通常为 0.2 至 0.5(随着磨损而保持恒定)。
- s 是特定导线或过孔的平均电流密度与允许的最大电流密度限值之比。该最大限值相当于单个元件允许的可靠性上限。随着 s 的降低(即平均电流密度的降低),有效 t50 相对于基准条件的影响也随之增大。t50 越高,可靠性就越高。
- V 和 f 分别指电压和频率。
从 i=1 ... N(Σ 后面)求和的项需要进一步解释。Ea 和 n 是之前所述的布莱克定律参数。分子项 t1 是指任务剖面中应用使用条件层的时间。例如,t1 可以表示在 95°C Tj 温度、某些工作应用电压和频率下的 20000POH(数据表规格内的工作性能点 (OPP))。
另一种情况:
方程式 6.
在 95°C Tj 下可以为 50000POH,并且与(Tref、Vref、fref)相比,它可以是 TI 数据表中允许的相同 OPP,也可以是不同的 OPP。相对于基准条件下的等效时间,每个层级的时间必须按比例增大或减小。最后,必须将整个任务剖面(所有应用使用层)的这些调整的时间求和。
到目前为止,我们已介绍了单根导线或过孔(元件)的(电迁移)可靠性。那么,如何计算 SoC 的总可靠性呢?从数学角度看,这一点相对简单。
使用可靠性函数的特性:
方程式 7.
其中 F 是前面所述的 CDF。
如果总共有 N 个元件,则总可靠性函数就是每个单独元件可靠性函数的总乘积:
方程式 8.
最后,总 CDF 等于 1 减去总可靠性:
方程式 9.
标准正态 CDF 还有一个方便的数学特性,可以简单地将 F 转换为 R,反之亦然。该特性为:
方程式 10.
如果
方程式 11.
则
方程式 12.
在方程式 4 中,通过取自然对数参数的倒数,z 的符号可以由正变负。