Hallo zusammen. Ich bin Alex Hansen, und in diesem Video werden wir darüber sprechen, einen kontinuierlichen Zeitcontroller zu nehmen, den wir möglicherweise sehr sorgfältig entworfen haben und in diskrete Zeit für die Implementierung in einem Mikrocontroller oder FPGA umwandeln. Die meisten von uns sind mit dem Controller-Design in kontinuierlicher Zeit, der Laplace-Transformation und der S-Domain-to-Model-Systeme sowie der Entwicklung von Controllern ziemlich vertraut und sind möglicherweise etwas weniger mit der digitalen oder diskreten z-Transformation und Modellierung mit der z-Ebene vertraut. Es ist also hilfreich zu wissen, dass es möglich ist, das Controller-Design kontinuierlich zu erstellen und dann den kontinuierlichen Zeitregler in eine diskrete Zeit in der digitalen Implementierung umzuwandeln. \r\nDiese Umwandlung ist von Natur aus eine Annäherung, sodass sich der diskrete Zeitcontroller, mit dem wir letztendlich enden, nicht genau so verhalten wird wie der kontinuierliche Zeitregler, insbesondere bei höheren Frequenzen. Aber sehr oft reflektiert die diskrete Zeitversion, die wir entwickeln können, den kontinuierlichen Zeitkompensator ausreichend über die relevanten Frequenzbereiche, die wir weiterhin verwenden können. Wenn wir die wahre Beschaffenheit eines diskreten Zeitkompensators verstehen wollen und dafür ein diskretes Zeitmodell eines Leistungswandlers, das in gewisser Weise natürlicher für einen Schaltleistungswandler ist, müssen wir mit der diskreten Zeitmodellierung von Grund auf beginnen, die durchgeführt werden kann und sehr wertvoll ist. Dennoch ist die Nutzung aller Erfahrungen, die die meisten von uns mit kontinuierlicher Zeitsteuerung haben, auch wertvoll. Und genau das werden wir in diesem Video tun. Betrachten wir als Beispiel einen kontinuierlichen Zeit-PD-Controller, bei dem der Tastgrad einer Konstante plus einer Proportionalität des Integrals plus einer Proportionalität des Derivats entspricht. Des Fehlersignals. Und diese sind natürlich kontinuierliche Funktionen der Zeit. Epsilon ist eine kontinuierliche Funktion der Zeit, ebenso wie das Tastverhältnis. Und wir wollen dies in etwas umwandeln, das wir in diskreter Zeit implementieren können. Nun, die Verhältnismäßigkeit ist ziemlich einfach. KP-Zeiten Epsilon von t kann einfach in kp-Zeiten Epsilon von k konvertiert werden, wobei k eine diskrete Variable ist und nicht die Zeit, sondern den Zeitschritt angibt. Das ist ziemlich unkompliziert. Aber wie setzen wir das Integral und das Derivat um? Nun, eine Annäherung nennt man die rückwärtige Euler-Annäherung. Und das klingt wirklich kompliziert. Aber es ist wahrscheinlich die intuitivste Möglichkeit, in diskreter Zeit über Integrale und Derivate zu sprechen. Wenn Sie eine Funktion haben, die sich im Laufe der Zeit so weiterentwickelt. Dies ist also Zeit und dies ist eine Funktion f in diskreter Zeit Sie können diese Funktion nur an diesem Punkt testen. Und diesen Punkt. Dies wäre f bei k am aktuellen Zeitpunkt. Und das ist f bei k minus eins im vorherigen Zeitpunkt. Ich stelle den Brief vor, in dem ich das diskrete Zeitintegral darstelle. Die rückwärtige Eulerannäherung für das diskrete Zeitintegral ist ziemlich einfach. Es heißt nur, dass Sie das Integral im vorherigen Zeitschritt übernehmen. Mit anderen Worten, all das, was Sie in der Vergangenheit zusammengetragen haben und dem Sie hinzufügen werden, ist eine rechteckige Annäherung des zuletzt ausgetragenen Bereichs. Das wäre also f von k. Times T, wobei T der Zeitraum oder der Zeitschritt zwischen den beiden Messungen ist. Grafisch gesehen bedeutet das, dass wir diesen realen Bereich nehmen, den wir annähern wollen, und wir nähern ihn an diesem Rechteck. Das violette Rechteck ist also die Annäherung für den blauen Bereich. Dieses lila ist das, was f von k Times t ist. Sie können also sofort sehen, dass dies eine Annäherung ist. Wir erwarten also nicht, dass unser diskretes Zeitergebnis genau mit der kontinuierlichen Zeiterfassung übereinstimmt. Aber solange es klein ist, sollte die Annäherung ziemlich gut sein. Und dies ist die Konvertierung für das Integral von f dt für einige Funktionen f. in diesem Fall sprechen wir über den Fehler. Ebenso ist die Näherung für das Derivat ziemlich unkompliziert. Die Näherung für das Derivat nimmt einfach die Funktion bei k und subtrahiert die Funktion bei k minus eins, und das alles geteilt durch t. oder wir könnten dies als Delta f über t schreiben. Das ist das Äquivalent, einfach den Wert der Funktion bei k zu übernehmen, den Wert der Funktion bei k minus eins, und eine gerade Linie zwischen ihnen zu zeichnen und zu sagen, dass dies eine annähernd ausreichende Annäherung des Derivats ist. Das wäre dieses Delta f over t. und wir sehen wieder, dass dies eine Annäherung sein wird. Aber wenn t klein genug ist, oder anders ausgedrückt, für Frequenzen, die viel kleiner sind als eine über t, würden wir erwarten, dass die Annäherung ziemlich gut ist. Nun ist die rückwärtige Euler-Annäherung recht gut, aber es gibt eine weitere Annäherung, die wir tun können, wodurch der Fehler noch weiter reduziert wird, ohne wirklich mehr Arbeit zu leisten. Diese Umwandlung wird als trapezförmige oder manchmal als Tustin-Näherung bezeichnet. Dies bezieht sich auch auf etwas, das als bilineare Transformation bekannt ist. In diesem Thema der Kontrollen sehen wir, dass sehr komplizierte Namen für Dinge verwendet werden, die, wie Sie gleich sehen werden, wirklich nicht alle so kompliziert sind. Die trapezförmige Näherung, wie ich sie weiter nenne, ist recht unkompliziert. Es heißt, dass, wenn sich eine Funktion wie diese im Laufe der Zeit entwickelt und Sie nur über diese Funktion wissen, der Wert der Funktion zu einem diskreten Zeitpunkt k und ein früherer diskreter Zeitpunkt k minus 1 ist. Anstatt den Beitrag dieses Abschnitts des Integrals stattdessen als Rechteck anzunähern, sollten Sie es nicht als Trapezbild annähern. Also ziehe ich eine gerade Linie zwischen diesen beiden Punkten und decke diesen Bereich ab. Ich zeige es in lila. Grafisch sehen wir, dass dies eine wesentlich bessere Annäherung der Funktion ist als die rechteckige Version, die wir in der rückwärtigen Euler-Annäherung hatten. Das Integral von f dt wäre also annähernd, wie viele Dinge wir vorher gesammelt hatten. Dies sind alle Beiträge vor F von k plus die Fläche des Trapezgefäßes, die, wenn wir uns an die Geometrie erinnern, nur die Basiszeiten des Durchschnitts der beiden Seiten sind. Also f von k minus 1 hier über 2. Dieser Begriff hier ist das Herzstück der Tustin-Annäherung, und es ist einfach eine trapezförmige Annäherung für den Flächenbeitrag eines diskreten Schritts im Gegensatz zu dem rechteckigen Beitrag, den wir beim Rückwärts-Euler-Ansatz verwendet haben, um zu sehen, wie sich diese Annäherung auf das Derivat auswirkt. Gestatten Sie mir, etwas Freiheit mit der Mathematik hier zu nehmen und diese ganze Konvertierung zu differenzieren. Eine Differenzierung würde mir f von k. die Funktion bei k ist gleich. Nun ist die Ableitung des Integrals bei k minus One einfach gleich dem Wert der Funktion bei k minus 1 plus t über das Zweifache df von k dt plus df von k minus 1. DCV oder das Derivat bei k und das Derivat bei k minus 1. Bei der Neuanordnung können wir feststellen, dass die Ableitung der Funktion bei k, die wir ja alle waren, gleich zwei Delta f über t minus d f von k minus eins ist. D t und das ist gleich Delta f über t plus ein weiteres Delta f über t minus d f von k minus eins. DCV. Dieser erste Begriff ist genau der gleiche wie die rückwärtige Euler-Annäherung und könnte man sich vielleicht als die intuitivste Art vorstellen, über das Derivat zu denken, zum Zeitpunkt k. man kann sich diesen zweiten Begriff vorstellen, dass ich grün färbe, als eine Korrektur zweiter Ordnung. Es ist wie bei einer polynomiellen Expansion, bei der das erste Derivat eine gute Annäherung ist. Wenn Sie jedoch die zweite Ableitung berücksichtigen können, sind Sie etwas näher an die richtige Antwort herangekommen. Das ist das Gleiche hier. Du willst die Steigung über den letzten Zeitschritt wissen. Sie möchten aber auch wissen, wie sich die Steigung von einem Zeitschritt zum nächsten geändert hat, um besser vorherzusagen, wie sich die Dinge weiterentwickeln. Aber das ist alles, was wir brauchen. Hier haben wir unsere Annäherung an das Integral. Und wir haben auch unsere Näherung für das Derivat. Deshalb sind wir bereit, eine vollständige diskrete Zeitimplementierung unseres Controllers zu erstellen. Um das neu zu schreiben, haben wir d tilde, da eine Funktion der Zeit gleich kp plus k mal ist das Integral in Bezug auf die Zeit plus kd mal die Ableitung in Bezug auf die Zeit des Fehlersignals ist unser Controller. All diese Variablen sind Funktionen der Zeit. Die diskrete Zeitimplementierung D von K kann dann wie folgt berechnet werden. Das ist KP-mal der Fehler zu k plus k-Zeiten, und hier schließen wir die Tustin-Annäherung für das Integral an. Dies ist das t-fache des Fehlers bei k plus des Fehlers bei k minus eins über zwei. Das ist unser Trapez plus der vorherige Wert des Integrals I von k minus 1. Das ist es, was Integration bedeutet. Es nimmt alle gesammelten Dinge auf und fügt dazu einen Beitrag hinzu. Und der Derivatbegriff kd mal die Tustin-Näherung für das Derivat. Das sind zwei Mal mehr. Der Fehler bei k minus dem Fehler bei k minus eins minus dem Derivat bei k minus eins, wobei d von k minus eins genau das ist, was wir im letzten Zyklus berechnet haben. Und dies ist unsere diskrete Zeitimplementierung eines PYD-Controllers, der einfach in einem Mikrocontroller oder FPGA zu implementieren ist. Und wir müssen nur modellieren. In der S-Domain. Die kontinuierliche Zeitdomäne, an die viele von uns gewöhnt sind, macht dann das Kompensatordesign auch in der S-Domäne. Wie die meisten von uns am meisten gewohnt sind. Und schließlich einfach zu implementieren oder umzuwandeln, das ist der Domänenkompensator. In der zeitlichen Form. Jetzt bestehe ich darauf, dass dies eine sehr praktische und sehr nützliche Sache ist. Dennoch sollten wir uns darüber im Klaren sein, dass es eine Reihe diskreter Zeitphänomene gibt. Das ist Domänenmodellierung, und das Domänendesign berücksichtigt nicht. In einem diskreten Zeitregler gibt es beispielsweise Verzögerungen zwischen der Messung eines Wertes und der Zeit, die Sie benötigen, um die endgültige Antwort zu berechnen und dann diese endgültige Antwort zu implementieren. All diese Dinge brauchen Zeit, und diese Verzögerungen führen zu Phasenverzögerungen in der diskreten Zeitfrequenzdomäne. Das kontinuierliche Zeitdesign ignoriert auch die Quantisierung. Wir haben die Quantisierung im Zeitbereich etwas behandelt, aber nicht für unsere Eingaben, unsere Spannungen und unsere Fehler. Dennoch werden diskrete Zeitsteuerungen normalerweise mit digitalen Mikrocontrollern oder FPGAs implementiert, die von Natur aus mit einer quantifizierten Form einer wirklich kontinuierlichen Variablen arbeiten. Wir haben auch etwas ignoriert, das ich den Probenahmezeitpunkt nennen werde. Mit anderen Worten, wenn wir mit unseren kontinuierlichen Zeitmodellen gearbeitet haben, basierte dieses kontinuierliche Zeitmodell auf der Mittelung über einen Schaltzyklus. Aber ein gutes diskretes Zeitmesssystem nimmt die Probe in nur einem Moment auf. Ob wir am Anfang des Zyklus oder in der Mitte des Zyklus oder gegen Ende des Zyklus Proben, kann einen Unterschied in der Funktionsweise unserer Steuerung ausmachen. Wir sollten auch bedenken, dass alles, worüber wir gesprochen haben, von Natur aus auf Näherungswerten basiert. Und obwohl die trapezförmige Näherung recht gut ist, ist sie immer noch eine Näherung und sagt uns nicht genau, wie unser System funktionieren wird. Wenn Sie all diese Dinge wirklich in den Griff bekommen möchten, müssen Sie alles in diskreter Zeit von Anfang an erledigen. Sie würden Ihr System also in diskreter Zeit oder in der Z-Domäne modellieren oder die Z-Transformation anstelle der Laplace-Transformation verwenden. Sie würden auch in diskreter Zeit konstruieren, und dann würden Sie natürlich in diskreter Zeit implementieren, aber das beinhaltet keine Konvertierungen. Ich möchte darauf hinweisen, dass bei Ihrer Vorbereitung auf diesen Weg nicht nur die diskrete Zeitmodellierung alle diese Probleme, die ich gerade erwähnt habe, bewältigt, sondern auch eine ganze Welt voller Möglichkeiten eröffnet, da Stromwandler in gewisser Weise natürlich diskrete Zeitsysteme sind. Ich schreibe hier einfach auf, dass dies mehr Möglichkeiten beinhaltet, wenn wir den vollständig diskreten Zeitweg gehen, was wir natürlich nicht in diesem Video machen können, oder wirklich jedes Video ganz allein. In Ordnung. Ungeachtet der Vorteile, die sich aus der diskreten Umsetzung unseres gesamten Designs ergeben, haben wir gesehen, dass es möglich ist, einen kontinuierlichen und kontinuierlichen Zeitkompensator zu verwenden, der viel Erfahrung nutzt, die wir in kontinuierlicher Zeit haben, und diese kontinuierlichen Zeitkompensatoren in eine digitale oder diskrete Zeitimplementierung umzuwandeln. Wir haben gerade kurz erwähnt, dass diese Konvertierung alle möglichen Dinge über die diskrete Zeitkonstruktion ignoriert. Dennoch werden Sie immer noch feststellen, dass die Näherungen, die wir gemacht haben, oft gut bis zu einem 10. Oder einem Fünftel der Schaltfrequenz sind, auf die wir unsere Übergangsfrequenz ohnehin für unseren Controller eingestellt hätten. Für eine Vielzahl von Anwendungen, die keine höchste Genauigkeit oder Leistung benötigen, ist diese Art der Umwandlung eine gute Möglichkeit, eine diskrete Zeitimplementierung Ihres Controllers zu erreichen, die einfach und schnell Prototypen und Änderungen ermöglicht.